Wie zeigt man dass ein Problem NP-vollständig ist?

Inhaltsverzeichnis:

1. Wie zeigt man dass ein Problem NP-vollständig ist?
2. Ist das Halteproblem NP-vollständig?
3. Wann ist eine Sprache NP-vollständig?
4. Sind NP vollständige Probleme entscheidbar?
5. Welche komplexitätsklassen gibt es?
6. Was besagt der Satz von Cook?
7. Ist das Sat Problem entscheidbar?
8. Wann gilt P NP?
9. Was bedeutet O 1?
10. Warum funktioniert die binäre Suche?
11. Ist P Teilmenge von NP?
12. Was bedeutet Stützlast 100 kg?
13. Ist ein Anhänger auch ein Fahrzeug?

Wie zeigt man dass ein Problem NP-vollständig ist?

Probleme sind in diesem Fall Aufgaben, die ein Rechner löschen kann, z.B. Berechnungen. Die meisten Berechnungen hat ein moderner Rechner in Millisekunden erledigt. Es gibt jedoch auch Probleme die tatsächlich niemals von einem Computer gelöst werden können, z.B. das Halteproblem. Dann gibt es Probleme die so schwierig werden, dass ein normaler Rechner sie niemals in annehmbarer Zeit lösen kann. Zum Lösen eines Problems benutzt man die Turingmaschine bzw. entwirft einen Algorithmus der es lösen kann. Wenn man eine Turingmaschine bauen kann, ist das Problem schon mal lösbar auf jeden Fall.

Zur Komplexitätsklasse P gehören alle Probleme die in polynomieller Zeit lösbar sind. Kann man eine Deterministische Turingmaschine bauen die das Problem löst, ist es also in P. Eine Deterministische TM kann alles was ein moderner Rechner auch kann.

Ist das Halteproblem NP-vollständig?

Um die Schwere von Problemen zu vergleichen, werden in der theoretischen Informatik Problemreduktionen benutzt. Ein Problem A heißt reduzierbar auf ein anderes Problem B, wenn jeder Algorithmus, der B löst, auch verwendet werden kann, um A zu lösen, indem man eine Probleminstanz von A umrechnet in eine Instanz von B und diese anschließend löst.

Will man durch Reduktionen Aussagen über die Effizienz von Problemen machen, ist die Effizienz der Reduktion ebenfalls wichtig. Wird die Anzahl der Rechenschritte einer Reduktion in Abhängigkeit von der Eingabelänge durch ein Polynom (und nicht etwa durch eine Exponentialfunktion) beschrieben, dann wird diese Reduktion als Polynomialzeitreduktion bezeichnet. Kann nun ein Problem 1 durch eine Polynomialzeitreduktion in ein Problem 2 überführt werden, dessen Aufwand ebenfalls polynomial von der Eingabe abhängt, so kann Problem 1 selbst in Polynomialzeit gelöst werden.

Anfang der 1970er Jahre zeigten Stephen A. Cook und Leonid Levin unabhängig voneinander, dass es in NP ein Problem gibt, auf das alle anderen Probleme in NP in Polynomialzeit reduziert werden können: das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT, von englisch satisfiability). Das Problem SAT ist also ein schwerstes Problem in NP (Satz von Cook). Es ist allerdings nicht das einzige schwerste Problem, denn Richard M. Karp zeigte, dass es in NP Probleme gibt, auf die SAT reduziert werden kann, die also genauso schwer sind wie SAT. Diese schwersten Probleme in NP werden NP-vollständig genannt. Alle Probleme, auch solche außerhalb von NP, die mindestens so schwer sind wie sie (auf die also SAT in Polynomialzeit reduziert werden kann), heißen NP-schwer.

Wann ist eine Sprache NP-vollständig?

Der Begriff der NP-Vollständigkeit wurde 1971 von Stephen A. Cook in seinem heute so genannten Satz von Cook eingeführt. Darin zeigte er, dass das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik NP-vollständig ist. Heute existieren deutlich einfachere konstruktive Nachweise für die Existenz solcher Probleme, allerdings sind die dafür verwendeten Sprachen sehr künstlich. Cooks Verdienst besteht also auch darin, für eine besonders interessante Sprache diesen Nachweis erbracht zu haben.

Aufbauend auf der Arbeit von Cook konnte Richard Karp im Jahre 1972 eine weitere bahnbrechende Arbeit vorlegen, die der Theorie der NP-Vollständigkeit zu noch größerer Popularität verhalf. Karps Verdienst besteht darin, die Technik der Polynomialzeitreduktion konsequent genutzt zu haben, um für weitere 21 populäre Probleme die NP-Vollständigkeit nachzuweisen.

Ein Problem (genauer: ein Entscheidungsproblem) L heißt NP-vollständig genau dann, wenn:

Letztere Bedingung bedeutet, dass jedes Problem in NP durch eine Polynomialzeitreduktion auf L reduziert werden kann.

Sind NP vollständige Probleme entscheidbar?

Die Klasse NP - nicht-deterministisch entscheidbare Probleme (Nicht-deterministisch bedeutet, dass der nächste Schritt nicht eindeutig bestimmt ist.) - Probleme, die von einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in polynomialer Zeit entschieden werden können Man kann also die Lösungskandidaten effizient überprüfen. Eine nicht-deterministische Turing-Maschine hat die Möglichkeit, zu "raten", wie sie weiter vorgeht, d.h. welchen Befehl sie ausführt. Probleme, die das n im Exponenten haben, und auch die Probleme, die von der "ratenden" TM gelöst werden, gehören also zur Klasse NP. Podcast

NP-vollständige Probleme So bezeichnet man die schwersten Probleme in der Klasse NP, zur Zeit etwa 2000. Sie sind entscheidbar. Es ist ein Polynomialzeit-Algorithmus zur Überprüfung der Lösung bekannt. Sie besitzen Lösungen in exponentieller Zeit. Niemand konnte jedoch bislang beweisen, ob sie exponentielle Zeit benötigen müssen. Sie sind ausführbar, wenn man zeigen kann, dass irgend ein NP-vollständiges Problem ausführbar ist (dass es durch einen polynomialen Algorithmus gelöst werden kann). Polynomiale Algorithmen für solche Probleme kennt man bislang nicht, man nimmt an, dass es diese auch nicht gibt. Das müsste "nur" noch bewiesen werden. Sie sind miteinander verwandt. (Darauf bezieht sich die Formulierung "vollständig".) Sollte jemand einen Polynomialzeit-Algorithmus zur Lösung eines einzigen NP-vollständigen Problems finden, würde sich dies auch auf alle anderen NP-vollst. Probleme anwenden lassen.

Nun versucht Irene, das Problem grafisch darzustellen. Mit Entsetzen stellt sie fest, dass nur Adelheid, Heinz und Carola infrage kommen. Naja, Hauptsache harmonisch ;-) (Die Namen sind rein zufällig gewählt! We.)

Was wird eingegeben? - ein ungerichteter Graph G wie nebenstehend - eine positive natürliche Zahl k

(G setzt sich aus der Knotenmenge V (set of vertices) und der Kantenmenge E (set of edges) zusammen: G = (V,E)

Welche komplexitätsklassen gibt es?

In der Klasse PP sind alle Probleme, die mit einer deterministischen Turingmaschine in polynomialzeit lösbar sind. Das sind also alle Probleme, für die es einen Algorithmus gibt, der in O(ni),i∈N0O(ni),i∈N0 ist.

Wenn es allerdings noch keinen Algorithmus gibt, der ein Problem in polynomialzeit löst, kann das Problem dennoch in PP liegen. Dann muss es einen besseren Algorithmus zur Lösung des Problems geben.

Was besagt der Satz von Cook?

Sei eine beliebige Sprache in NP. Es ist nun eine Reduktion von auf SAT zu konstruieren, d. h. eine Beschreibung, wie aus einer Zeichenkette in Polynomialzeit eine aussagenlogische Formel berechnet werden kann, welche genau dann erfüllbar ist, wenn . Weil in NP liegt, gibt es eine nichtdeterministische Turingmaschine , die in Polynomialzeit entscheidet, ob zur Sprache gehört. Die Grundidee der Reduktion ist nun, die Aussage, dass die Berechnung der Maschine bei Eingabe ergibt, dass zur Sprache gehört, in einer aussagenlogischen Formel auszudrücken. In dieser Formel müssen sich also eine Beschreibung der Maschine , eine Beschreibung der Eingabe sowie die Regeln, nach denen eine nichtdeterministische Turingmaschine arbeitet, wiederfinden.

Dazu verwenden wir diese drei Familien boolescher Variablen mit der jeweils nachfolgend angegebenen Interpretation:

Dabei sind nur diejenigen Bandzellen von Bedeutung, welche der Lesekopf tatsächlich erreicht. Da eine Turingmaschine den Lesekopf in einem Rechenschritt nur um eine Bandzelle bewegen kann, ist durch die Anzahl der Rechenschritte auch die Anzahl der erreichbaren Bandzellen beschränkt.

Ist das Sat Problem entscheidbar?

Eine aussagenlogische Formel besteht aus Variablen, Klammern und den aussagenlogischen Verknüpfungen Konjunktion („und“, oft notiert mit ∧), Disjunktion („oder“, ∨) und Negation („nicht“, ¬). Eine Variable kann entweder den Wert wahr oder den Wert falsch annehmen. Ein Literal ist ein Auftreten einer Variable (positives Literal) oder ihrer Negation (negatives Literal). Ein Literal heißt pur, wenn es nur in einer Ausprägung, also entweder positiv oder negativ, vorkommt. Ein Monom ist eine endliche Menge von Literalen, die ausschließlich konjunktiv verknüpft sind. Eine Klausel ist eine endliche Menge von Literalen, die ausschließlich disjunktiv verknüpft sind. Eine Einheitsklausel ist eine Klausel, die nur aus einem einzelnen Literal besteht. Eine Horn-Klausel ist eine Klausel mit höchstens einem positiven Literal.

Eine aussagenlogische Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn sie nur aus Konjunktionen von Klauseln besteht. Eine Horn-Formel ist eine konjunktive Normalform, die ausschließlich aus Horn-Klauseln besteht. Die Formel befindet sich in konjunktiver Normalform. Da nur die erste und die dritte Klausel Horn-Klauseln sind, ist sie aber keine Horn-Formel. Die dritte Klausel ist eine Einheitsklausel.

Eine aussagenlogische Formel ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn sie nur aus Disjunktionen von Monomen besteht. Die Formel befindet sich in disjunktiver Normalform.

Eine Formel heißt genau dann erfüllbar, wenn eine Zuweisung von Werten wahr oder falsch zu jeder Variable existiert, sodass die Formel wahr ist. Formal ist SAT definiert als die formale Sprache

Wann gilt P NP?

Das P vs. NP Problem ist ein ungelöstes Rätsel der Komplexitätstheorie. Hierbei werden von einem Computer zu lösende mathematische Probleme als P- oder NP-Probleme klassifiziert. Vereinfacht gesagt gehören alle Probleme, die effizient von einem Computer gelöst werden können, zur Klasse P. Bei NP-Problemen hingegen ist unbekannt, ob sie sich effizient lösen lassen oder nicht. Effizient bedeutet hierbei, dass die benötigte Rechenzeit eines Lösungsalgorithmus bei steigender Komplexität höchstens polynomiell (also zum Beispiel quadratisch) wächst. Klar ist aktuell nur, dass sich eine korrekte Lösung eines NP-Problems in Polynominalzeit überprüfen lässt. Ob eine Lösung in der gleichen Zeit erzeugt werden kann, ist allerdings unklar.

Was bedeutet O 1?

01.11.2008, 12:38 cheetah_83 Auf diesen Beitrag antworten » Landau Symbol - Was bedeutet o(1) hallo, was genau bedeutet es, wenn eine Funktion gleich o(1) ist. einfach streng nach definition (Wiki) dass die funktion im betrag gegen 0 konvergiert? 01.11.2008, 12:54 kiste Auf diesen Beitrag antworten » Nein, 12∈o(1) 01.11.2008, 13:13 cheetah_83 Auf diesen Beitrag antworten » und wie ist die allgemeine definition? also bei wiki steht, dass O(1) bedeutet, dass die funktion nach oben durch 1 beschränkt ist, das würd ja für 1/2 auch zutreffen. o(1) ist da aber nicht extra aufgeführt. 01.11.2008, 13:29 Leopold Auf diesen Beitrag antworten » @ cheetah_32

Du hast vollkommen recht. Für den betreffenden Grenzübergang bei x gilt:

Warum funktioniert die binäre Suche?

Im gewählten Beispiel wird innerhalb der main-Methode ein Array deklariert und mit int-Werten initialisiert. Da die Suche über einen Größenvergleich der Werte abläuft, muss das Array anschließend zwingend sortiert werden. Der Methode searchBinary() werden vier Parameter übergeben:

import java.util.Arrays;

Ist P Teilmenge von NP?

Im Bereich der Algorithmen entsprechen sich "schwierig" und "zeit­aufwendig". Ein Problem ist schwierig, wenn seine Lösung zeit­aufwendig ist. Der Begriff zeit­aufwendig ist natürlich relativ, aber es hat sich als sinnvoll erwiesen, hier eine Grenze zu ziehen zwischen Problemen mit höchstens poly­nomieller Zeit­komplexität und Problemen mit größerer als poly­nomieller Zeit­komplexität.

Definition:  Eine Zeit­komplexität von T(n) âˆˆ O(nk) wird als polynomielle Zeit­komplexität bezeichnet. Hierbei ist k ein konstanter Wert, der nicht von n abhängt.

Was bedeutet Stützlast 100 kg?

Sobald Sie einen Anhänger an Ihr Kfz ankoppeln, müssen Sie neben der Stützlast auch noch die zulässige Anhängelast beachten. Es handelt sich um das Gewicht, das ein Auto tatsächlich "an den Haken" nehmen und im Gespann hinter sich herziehen darf.

Die maximale Anhängelast Ihres Kraftfahrzeugs finden Sie in der Zulassungsbescheinigung Teil I – für Anhänger mit Bremse unter O.1 und für Anhänger ohne eigene Bremsanlage unter O.2. Im alten Fahrzeugschein steht die Anhängelast bei Nummer 28 beziehungsweise 29.

Ist ein Anhänger auch ein Fahrzeug?

PKW sind fast immer ein Kompromiss: Manche können kaum mehr, als Fahrer und Beifahrer befördern; etwa der klassische Smart. Andere PKW legen mehr Wert auf Beladung, beispielsweise Kombis. Sieht man jedoch einmal von sehr großen Pickup-Trucks ab, wie sie in Nordamerika vorzugsweise mit voluminöser Doppelkabine und riesiger Ladefläche verkauft werden, ist vor allem das Beladen mit sperrigen Dingen meistens stark limitiert.

Wer nicht gerade einen großen Van oder ein Wohnmobil besitzt, hat auch kaum eine bequeme Chance, im PKW zu nächtigen – zumindest nicht dauerhaft.

Anhänger sind in diesem Sinne Ihre Trumpfkarte. Sie benötigen nur eine vom TÜV abgenommene Anhängerkupplung samt Steckdose für die Stromversorgung der Beleuchtung und schon kann Ihr normaler PKW ein Vielfaches seines eigentlichen Stauraumes bewegen – oder Sie auch eine ganze Ferienwohnung für mehrere Personen und Wochen ziehen.